1. 什么是数学命题？ (定义、分类、重要性)
2. 数学命题的核心技巧 (如何证明、如何求解)
3. 命题的构造与变换技巧 (如何从无到有创造新命题)

什么是数学命题？

在数学中,命题 是一个可以判断其真伪（正确或错误）的陈述句，它不是问题，也不是命令。

命题的分类

• 定义性命题: 用于引入新的概念或术语。

  • 例子: “一个整数 p 是素数，当且仅当它恰好有两个正因数：1 和它自身。” 这是一个定义，它规定了“素数”这个词的含义。

• 公理/公设: 在一个理论体系中，被当作不证自明的基本事实，作为推理的起点，它们被认为是真的，无需证明。

  • 例子: 欧几里得几何中的“两点之间能且仅能画一条直线”。

• 定理: 经过严格逻辑证明为真的重要命题，它是数学大厦的基石。

  • 例子: 勾股定理：“在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。” (a² + b² = c²)

• 引理: 为了证明一个更重要的定理（通常是定理）而预先证明的辅助性命题，它本身可能不重要，但证明过程很关键。

  • 例子: 在证明算术基本定理（每个大于1的整数都可唯一分解为素数的乘积）时，常常需要先证明一个引理：“如果一个素数 p 整除两个整数的乘积 ab，p 至少能整除 a 或 b 中的一个。”

• 推论: 由一个已经证明的定理（通常是定理或引理）直接推出的、相对简单的结论。

  • 例子: 由“三角形内角和为180°”这个定理，可以轻易推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，这就是一个推论。

• 猜想: 根据大量证据或直觉推测为真，但尚未被证明的命题，猜想的证明往往能带来数学的重大突破。

  • 著名例子: 费马大定理 (已证明), 哥德巴赫猜想 (未证明), 黎曼猜想 (未证明)。

命题的标准形式：P ⇒ Q (如果P，那么Q)

大部分数学命题（尤其是定理）都可以表示为条件命题的形式，即 P ⇒ Q。

• P 称为前提 或条件。
• Q 称为。
• P ⇒ Q 的含义是：“如果前提 P 成立，那么结论 Q 也必然成立。”

例子: “如果一个四边形是正方形 (P)，那么它的四条边都相等 (Q)。” 这是一个真命题。

数学命题的核心技巧 (证明与求解)

当面对一个命题时,我们的核心任务通常是证明或求解，这里的关键在于掌握一系列逻辑推理和计算的技巧。

证明技巧

• 直接证明: 这是最基本、最常用的方法，从命题的前提 P 出发，通过一系列已知的定义、公理、定理和逻辑推理，一步步推导出结论 Q。

  • 结构: P → ... → Q
  • 例子: 证明“两个偶数的和是偶数”。
    1. 设 a 和 b 是任意两个偶数。(前提 P)
    2. 根据偶数的定义,存在整数 k 和 m，使得 a = 2k，b = 2m。
    3. a + b = 2k + 2m = 2(k + m)。
    4. 因为 k + m 也是一个整数，a + b 是2的倍数。
    5. a + b 是一个偶数。(Q)

• 反证法: 这是一种非常强大且优雅的技巧。

  • 步骤:
    1. 假设命题的结论 Q 是错误的。
    2. 在这个假设下,结合前提 P 进行逻辑推理。
    3. 推导出一个与已知事实（公理、定义、已证定理）或前提 P 本身相矛盾的结果（R 且 非R）。
    4. 这说明最初的假设“Q 是错误的”不成立。
    5. 结论 Q 必须是正确的。
  • 适用场景: 当直接证明的路径不明显，或者结论的否定形式更容易处理时。
  • 例子: 证明“√2 是无理数”。
    1. 假设 √2 是有理数（Q 的否定）。
    2. √2 可以写成最简分数 p/q 的形式（p, q 为互质整数）。
    3. 两边平方得 2 = p²/q²，即 p² = 2q²，这说明 p² 是偶数。
    4. p 必须是偶数（因为奇数的平方是奇数），设 p = 2k。
    5. 代入得 (2k)² = 2q² => 4k² = 2q² => q² = 2k²，这说明 q² 也是偶数，q 也是偶数。
    6. 这与 p 和 q 互质的假设矛盾。
    7. 假设不成立,√2 是无理数。

• 数学归纳法: 证明与自然数 n 相关的命题 P(n) 的标准技巧。

  • 步骤:
    1. 奠基: 证明当 n 取第一个值（通常是 n=0 或 n=1）时，命题 P(n) 成立。
    2. 归纳假设: 假设当 n=k (k 是一个大于等于基值的自然数) 时，命题 P(k) 成立。
    3. 归纳递推: 证明当 n=k+1 时，命题 P(k+1) 也成立。
    4. 根据1、2、3，命题对所有 n ≥ 基值 的自然数都成立。
  • 例子: 证明 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2。

• 构造性证明: 不仅要证明某个对象存在，还要明确地构造出这个对象，或者给出找到它的算法。

  • 例子: 证明“存在两个无理数 a 和 b，使得 a^b 是一个有理数”。
    • 证明: 考虑 a = √2（已知是无理数），b = √2。
    • (√2)^(√2) 是有理数，那么我们就找到了 a 和 b。
    • (√2)^(√2) 是无理数，那么令 a = (√2)^(√2)，b = √2。a^b = ((√2)^(√2))^(√2) = (√2)^(√2 * √2) = (√2)^2 = 2，2是有理数。
    • 无论哪种情况,我们都证明了存在性，这是一个非构造性证明的经典变种，一个真正的构造性证明会给出具体的 a 和 b，a = √2, b = 2log₂3，则 a^b = 3。

求解技巧

对于求解类问题（如解方程、求极限、求积分），技巧同样重要。

• 化归与转化: 将一个复杂或不熟悉的问题，转化为一个简单或熟悉的问题，这是数学思想的精髓。

  • 例子: 解一元二次方程 ax²+bx+c=0，我们通过配方法将其转化为 (x-h)² = k 的形式，从而利用开方求解，这就是一种转化。