下面我将从“一个核心、两个口诀、三大步骤、一个口诀”四个方面，为你彻底讲透诱导公式的技巧。
一个核心：单位圆与对称思想
这是所有诱导公式的根本,忘记死记硬背，把所有公式都想象成在单位圆上，一个角的终边通过旋转或对称，到达另一个角的终边的过程。
- 关键点：角的终边落在哪个象限？这个角的三角函数值（正弦、余弦、正切）的符号是什么？
- “奇变偶不变，符号看象限” 这句话的根源就在于此。
两个口诀：记忆公式的“金钥匙”
这两个口诀是解决诱导公式的法宝,必须牢记。
“奇变偶不变”
这个口诀用来判断函数名是否改变。
-
“奇”/“偶”：指的是 前面的数字
k（k为整数）。k是奇数（如 1, 3, 5, ...），那么函数名要变。sin↔costan↔cotsec↔csc
k是偶数（如 2, 4, 6, ...），那么函数名**不变**。
-
“变”/“不变”：指的是将 变为
kπ/2 ± α的形式后， 本身前面的数字k。
（图片来源网络，侵删）
举例说明：
-
sin(π + α)- 可以写成
2 * (π/2)，这里k=2，是偶数。 - 偶不变”，函数名
sin不变。 - 结果为
± sin(α)。
- 可以写成
-
cos(π/2 - α)π/2前面的系数是1，是奇数。- 奇变”，函数名
cos要变成sin。 - 结果为
± sin(α)。
-
tan(3π/2 + α)
（图片来源网络，侵删）3π/2前面的系数是3，是奇数。- 奇变”，函数名
tan要变成cot。 - 结果为
± cot(α)。
“符号看象限”
这个口诀用来确定最终结果的正负号。
- “符号”：指最终结果前面是 还是 。
- “看象限”：指假设 是一个锐角（
0 < α < π/2），然后看原角kπ/2 ± α落在第几象限，再判断原角所在象限的原函数**（sin,cos,tan等）值的正负。
操作步骤：
- 假设 为锐角。
- 确定
kπ/2 ± α所在的象限。 - 判断该象限内，原函数值的符号。
- 一全正,二正弦，三正切，四余弦。
- (第一象限所有函数为正，第二象限只有 sin 为正，第三象限只有 tan 为正，第四象限只有 cos 为正)。
举例说明：
-
sin(π + α)- 假设 是锐角。
- 看象限： 是第三象限角。
- 定符号：第三象限，
sin值为负。 - 结合口诀一：
k=2（偶数），函数名不变，还是sin。 - 综合结果：
sin(π + α) = -sin(α)。
-
cos(π/2 - α)- 假设 是锐角。
- 看象限：
π/2 - α仍在第一象限。 - 定符号：第一象限，
cos值为正。 - 结合口诀一：
k=1（奇数），函数名cos变为sin。 - 综合结果：
cos(π/2 - α) = +sin(α) = sin(α)。
-
tan(3π/2 + α)- 假设 是锐角。
- 看象限：
3π/2 + α是第四象限角。 - 定符号：第四象限，
tan值为负。 - 结合口诀一：
k=3（奇数），函数名tan变为cot。 - 综合结果：
tan(3π/2 + α) = -cot(α)。
三大步骤：实战解题的“标准化流程”
拿到任何一个诱导公式题目,都按照这三步走，保证又快又准。
例题：求 sin(5π/4 - α) 的值
第一步：化角，对齐口诀
将角 5π/4 - α 变形为 k * π/2 ± α 的形式。
5π/4 = 2π/2 + π/2 = π + π/2
5π/4 - α = π + (π/2 - α)
这里我们直接使用 5π/4 = 2 * (π/2) + π/2，可以看作 k=2（偶数）的 π/2 - α 形式，或者 k=1（奇数）的 π + (π/4 - α/2) 形式，为了方便，我们通常选择最接近 kπ/2 的形式，这里我们选择 k=2 的形式。
第二步：应用口诀一（奇变偶不变）
5π/4前面的系数是5/2，这不太好直接看，我们换一种更通用的方法：看π/2的倍数。5π/4 = 2 * (π/2) + π/4，这里k=2，是偶数。- 偶不变”，函数名
sin保持不变。 - 结果形式为：
± sin(π/4 - α)。
第三步：应用口诀二（符号看象限）
- 假设 是锐角，
π/4 - α也是锐角（或0）。 - 看象限：
5π/4 - α这个角，5π/4在第三象限，减去一个锐角 ，它依然在第三象限。 - 定符号：第三象限，
sin函数值为负。 - 综合结果：
sin(5π/4 - α) = -sin(π/4 - α)。
（可选）第四步：进一步化简
要求，可以继续对 -sin(π/4 - α) 进行化简：
sin(π/4 - α) = sin(π/2 - (π/4 + α)) = cos(π/4 + α) （这里 k=1，奇变偶不变，符号看象限为正）
所以最终也可以写成 -cos(π/4 + α)，但通常 -sin(π/4 - α) 也是正确的。
一个口诀：特殊角速算
除了 kπ/2 ± α 的形式，还有一些特殊角，π, 2π, -α 等，它们其实是 kπ/2 ± α 的特例（α=0 的情况），但为了更快，可以单独记忆：
“函数不变，符号随原角”
sin(π - α) = sin(α)（第二象限，sin为正）sin(π + α) = -sin(α)（第三象限，sin为负）sin(2π - α) = -sin(α)（第四象限，sin为负）sin(-α) = -sin(α)（第四象限，sin为负）cos(π - α) = -cos(α)（第二象限，cos为负）cos(π + α) = -cos(α)（第三象限，cos为负）cos(2π - α) = cos(α)（第四象限，cos为正）cos(-α) = cos(α)（第四象限，cos为正）
记忆技巧：sin 函数关于 π/2 对称，cos 函数关于 对称。
总结与提醒
- 核心是单位圆：理解了终边的对称和旋转，公式就不需要死记。
- 口诀是捷径：“奇变偶不变，符号看象限”是王道，一定要熟练运用。
- 步骤是保障：化角 -> 奇变偶不变 -> 符号看象限，按部就班，不出错。
- 练习是关键：找一些题目，刻意练习这三步，形成肌肉记忆，刚开始可以慢一点，但一定要保证每一步都正确。
- 注意 的范围：口诀二的“符号看象限”依赖于“ 为锐角”这个假设，如果题目中 的范围已知且不是锐角，需要根据实际情况判断象限，但这种情况在高中阶段较少见。
希望这套方法能帮你彻底攻克诱导公式！加油！
