第一部分：核心思想——“数形结合”
这是函数学习的灵魂,一定要时刻牢记！
- “数” -> “形”：看到一个函数解析式（
y = 2x + 1），立刻在脑海里画出它的图像（一条直线），图像能直观地告诉你函数的性质，比如它经过哪些点、是上升还是下降、与坐标轴的交点在哪。 - “形” -> “数”：看到一个函数图像，要能立刻读出关键信息，比如点的坐标、k值（斜率）、b值（截距）,并能根据图像写出或判断函数解析式。
口诀：心中有图，解题不慌。
第二部分：基础知识必须牢固
高楼平地起，基础知识不扎实,技巧都是空谈。
一次函数 (y = kx + b, k≠0)
- k (斜率)：
- 决定方向：
k > 0，图像从左到右上升；k < 0，图像从左到右下降。 - 决定倾斜程度：
|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。
- 决定方向：
- b (截距)：图像与 y 轴的交点坐标是 (0, b)。
- 特殊点：
- 与 y 轴交点：令 x=0，求出 y。
- 与 x 轴交点：令 y=0，求出 x (坐标为
(-b/k, 0))。
- 待定系数法：求解析式的王牌方法！
- 步骤：找到图像上或题目中给出的两个点的坐标
(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，分别代入y = kx + b，得到关于k和b的二元一次方程组，解出k和b即可。
- 步骤：找到图像上或题目中给出的两个点的坐标
反比例函数 (y = k/x, k≠0)
- k (比例系数)：
- 决定图像所在象限：
k > 0：图像在第一、三象限。k < 0：图像在第二、四象限。
- 决定增减性：
k > 0：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。k < 0：在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
- 决定图像所在象限：
- 特殊点：
- 与坐标轴无交点。
- 图像关于原点对称。
- 待定系数法：求解析式的常用方法！
- 步骤：找到图像上或题目中给出的一个点的坐标
(x, y)，代入y = k/x，求出k即可。
- 步骤：找到图像上或题目中给出的一个点的坐标
二次函数 (y = ax² + bx + c, a≠0)
- a (二次项系数)：
- 决定开口方向：
a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。 - 决定开口大小：
|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。
- 决定开口方向：
- c (常数项)：图像与 y 轴的交点坐标是 (0, c)。
- 对称轴：直线
x = -b/(2a)，这是二次函数的“脊梁”,非常重要！ - 顶点：(
-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)),这是函数的最高点或最低点。 - 与 x 轴的交点：令 y=0，解方程
ax² + bx + c = 0，解的个数由判别式Δ = b² - 4ac决定：Δ > 0：有两个交点。Δ = 0：有一个交点（顶点在 x 轴上）。Δ < 0：无交点。
- 待定系数法：求解析式的核心方法！
- 一般式法：知道图像上三个点，代入
y = ax² + bx + c,解三元一次方程组。 - 顶点式法：知道顶点坐标 (
h, k) 和另一个点，设y = a(x - h)² + k，再代入另一个点求a。 - 交点式法：知道与 x 轴的两个交点 (
x₁, 0) 和 (x₂, 0)，设y = a(x - x₁)(x - x₂)，再代入另一个点求a。
- 一般式法：知道图像上三个点，代入
第三部分：解题技巧与“套路”
求函数解析式
- 一次函数：找两个点,用待定系数法。
- 反比例函数：找一个点,用待定系数法。
- 二次函数：
- 看题目给的信息，选择最合适的待定系数法形式（一般式、顶点式、交点式）。
- 如果知道顶点，优先用顶点式。
- 如果知道与 x 轴的交点，优先用交点式。
- 如果知道任意三个点，用一般式。
求交点坐标
- 两函数图像的交点：将两个函数的解析式联立成方程组，解出的
(x, y)就是交点坐标。 - 函数图像与 x 轴的交点：令 y=0,解方程。
- 函数图像与 y 轴的交点：令 x=0，求 y。
比较函数值大小
- 一次函数：利用图像的单调性。
k > 0时，x 越大，y 越大。k < 0时，x 越大，y 越小。
- 二次函数：利用对称轴和开口方向。
- 找到两个点的横坐标,看它们关于对称轴的位置。
- 如果在对称轴同侧，离对称轴越远的点，函数值越大（开口向上时）或越小（开口向下时）。
- 如果在对称轴异侧,直接比较与顶点的关系。
解决实际问题（应用题）
这是函数的“用武之地”,也是考试的必考题型。
- 步骤：
- 审题：找出题目中的两个变量（通常是自变量
x和因变量y）。 - 找关系：分析这两个变量之间的等量关系,列出函数解析式。
- 写范围：根据实际情况，确定自变量的取值范围（非常重要！比如人数不能是负数或小数）。
- 求最值：根据函数的性质，求出最大值或最小值。
- 一次函数：在自变量的取值范围的端点处取得最值。
- 二次函数：在顶点处取得最值（但要检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，如果不在，则在端点处取得最值）。
- 审题：找出题目中的两个变量（通常是自变量
第四部分：常见易错点提醒
- 忽略定义域/取值范围：特别是应用题,自变量的取值范围必须考虑实际情况。
- 混淆 k 和 b 的意义：记清楚
k是斜率，b是 y 轴截距。 - 二次函数顶点坐标记错：对称轴是
x = -b/(2a)，不是x = b/(2a)，顶点纵坐标最好用y = a(-b/(2a))² + b(-b/(2a)) + c算，或者用
