将高次幂问题转化为低次幂问题，或者利用熟悉的公式进行套用。
下面我将从 基础到进阶，为你详细拆解这些技巧,并提供经典例题。
核心思想与准备
在开始之前，请务必熟练掌握以下基础公式,它们是所有高次幂因式分解的基石：
- 平方差公式:
a² - b² = (a - b)(a + b) - 完全平方公式:
a² ± 2ab + b² = (a ± b)² - 立方和/差公式:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
- 和立方/差立方公式:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
核心技巧分类详解
换元法（降幂法）
这是处理高次多项式最常用、最核心的技巧，当看到 x⁴, x⁶ 等时，尝试用一个新变量（t）来表示 x² 或 x³，从而将四次、六次方程转化为二次、三次方程。
适用场景：多项式中所有项的指数都是偶数，或者有明显的 x² 和 x⁴ 的关系。
示例 1：处理 x⁴
问题：分解因式 x⁴ - 5x² + 4
分析：这个多项式只包含 x⁴ 和 x² 项，我们可以设 t = x²。
步骤：
- 设元：令
t = x²。 - 替换：原式变为
t² - 5t + 4。 - 分解：这是一个关于
t的二次式，很容易分解：t² - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)。 - 回代：将
t = x²代回去，得到(x² - 1)(x² - 4)。 - 继续分解：检查结果，发现
x² - 1和x² - 4仍然是平方差，可以继续分解。x² - 1 = (x - 1)(x + 1)x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
- 最终结果：
(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
示例 2：处理 (x²+1)²
问题：分解因式 (x² + 2x + 1)² - 9
分析：这个式子可以看作是 A² - B² 的形式，A = x² + 2x + 1，B = 3。
步骤：
- 识别公式：
A² - B² = (A - B)(A + B)。 - 套用公式：
[(x² + 2x + 1) - 3][(x² + 2x + 1) + 3] - 化简：
(x² + 2x - 2)(x² + 2x + 4) - 检查：检查这两个二次式是否能再分解。
x² + 2x - 2，判别式Δ = 4 + 8 = 12 > 0，可以分解（但结果含根号，通常在中学阶段要求分解到有理数范围即可，所以这里可以停止）。x² + 2x + 4，判别式Δ = 4 - 16 = -12 < 0,在实数范围内无法分解。
- 最终结果：
(x² + 2x - 2)(x² + 2x + 4)
（注：此题也可以先对 x² + 2x + 1 使用完全平方公式，变成 (x+1)²，再套用平方差公式，结果是一样的。）
分组分解法
当项数较多（通常是四项或四项以上），且没有公因式时，可以尝试将它们分成两组，分别提取公因式,然后看看是否能再次提取公因式。
适用场景：四项或更多项的多项式,且无法直接使用公式。
示例：
问题：分解因式 x³ - 2x² - 4x + 8
分析：四项式,尝试分组。
步骤：
- 分组：
(x³ - 2x²) + (-4x + 8) - 提取公因式：
- 第一组
x³ - 2x²提取x²，得到x²(x - 2)。 - 第二组
-4x + 8提取-4，得到-4(x - 2)。
- 第一组
- 再次提取公因式：现在两项分别是
x²(x - 2)和-4(x - 2)，它们的公因式是(x - 2)。- 提取
(x - 2)，得到(x - 2)(x² - 4)。
- 提取
- 继续分解：
x² - 4是平方差，可以继续分解。x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
- 最终结果：
(x - 2)(x - 2)(x + 2)或写成(x - 2)²(x + 2)
公式套用法
有些高次幂本身就是公式的形式,或者稍作变形后就可以套用。
示例 1：立方和/差
问题：分解因式 x³ + 27
分析：27 是 3³，所以这是 a³ + b³ 的形式。
步骤：
- 识别公式：
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)。 - 套用公式：这里
a = x，b = 3。 - 最终结果：
(x + 3)(x² - 3x + 9)。
示例 2：完全立方
问题：分解因式 8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³
分析：系数 8, 36, 54, 27 和变量 x, y 的指数 (3,0), (2,1), (1,2), (0,3) 都符合 (a-b)³ 的展开形式。
步骤：
- 识别公式：
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³。 - 套用公式：这里
a = 2x(因为(2x)³ = 8x³)，b = 3y(因为(3y)³ = 27y³)。 - 最终结果：
(2x - 3y)³。
综合应用（换元 + 分组 + 公式）
需要将以上技巧结合使用。
问题：分解因式 x⁴ + x² + 1
分析：这个式子看起来像 x⁴ + 2x² + 1（即 (x²+1)²），但中间项 x² 少了一个 x²，我们可以尝试 “添项拆项法”,这是一种高级的分组技巧。
步骤：
- 添项拆项：为了凑出完全平方，我们加上一个
x²，再减去一个x²，整体不变。`x⁴ + x² +
