核心基础：全等三角形的判定公理与定理
这是解题的根本，必须牢记于心，两个三角形要全等,至少需要满足以下五个条件之一：
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边边边
- 三组对应边相等。
- 简记：SSS
- 核心：三条边都“锁定”了,三角形形状和大小就唯一确定了。
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边角边
- 两组对应边和它们的夹角相等。
- 简记：SAS
- 核心：“夹角”是关键,必须是两边中间的那个角。
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角边角
- 两组对应角和它们的夹边相等。
- 简记：ASA
- 核心：“夹边”是关键,必须是两角中间的那条边。
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角角边
- 两组对应角和其中一角的对边相等。
- 简记：AAS
- 核心：这个可以看作是ASA的延伸，因为“两角和”为180°，第三个角也相等,所以本质上还是ASA。
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斜边、直角边
- 斜边和一条直角边对应相等。（仅限直角三角形）
- 简记：HL
- 核心：这是直角三角形的“特权”,一般三角形不适用。
解题黄金步骤
拿到一道几何题，不要急于动笔，按照以下步骤思考,会事半功倍：
第一步：审题与识图
- 看清题目：题目给出了哪些已知条件？求证什么？
- 标记图形：在图上用不同颜色的笔，清晰地标出已知的相等线段、相等角，这是最关键的一步，能让图形“开口说话”。
- 线段相等：画一条或多条短横线（）。
- 角相等：画一条或多条弧线（）。
- 垂直：画一个直角符号（）。
第二步：分析目标
- 明确要证什么：最终的目标是证明哪两个三角形全等？还是利用全等去证明线段/角相等、平行、垂直等？
- 逆向思考：如果要证明这两个三角形全等，需要哪些条件？现在已知哪些？还缺哪些？
第三步：寻找或构造“桥梁”
- 寻找公共边：如果两个三角形有公共边，那么这条边一定是它们的一组对应边,这是最常见的隐含条件！
- 寻找公共角：如果两个三角形有公共角，那么这个角一定是它们的对应角,这也是非常常见的隐含条件！
- 寻找对顶角：两条直线相交,形成的对顶角相等。
- 利用等量代换：如果一条线段等于另外两条线段的和或差，可以尝试把它“拆分”或“拼接”出来，以满足SSS或SAS的条件，证明
AB = CD，可以转化为证明AE = CE且BE = DE。
第四步：选择判定方法，完成证明
- 根据第三步找到的条件，选择最合适的判定公理（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）。
- 写出规范的证明过程，步骤清晰,理由充分。
核心解题技巧与常见模型
先找“公共边”和“公共角”
这是解题的“第一反应”，只要看到两个“挨着”的三角形,就要立刻检查它们是否有公共边或公共角。
例题：
已知：如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AD = AE，∠B = ∠C。
求证：△ABE ≅ △ACD。
分析：
- 标记：
AD = AE标记，∠B = ∠C标记。 - 找公共角：观察
△ABE和△ACD，它们有一个公共角∠A。 - 凑条件：
- 已知：
AD = AE(一对边) - 已知：
∠B = ∠C(一对角) - 找到：
∠A = ∠A(公共角,另一对角)
- 已知：
- 选方法：现在有两对角和一对边，符合 AAS 或 ASA，因为
∠A是AD和AE的夹角，也是∠B和∠C的夹边，所以既可以用 ASA（边-角-边），也可以用 AAS（角-角-边）。
证明：
在 △ABE 和 △ACD 中，
∵ ∠B = ∠C (已知)
∠A = ∠A (公共角)
AD = AE (已知)
∴ △ABE ≅ △ACD (AAS)
巧用“倍长中线”构造全等
中出现中线时，这是一个强烈的信号，提示你可能需要使用“倍长中线”法。
方法： 找到中线，将其延长一倍，连接端点,从而构造出两个全等的三角形。
例题：
已知：如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 5，AC = 3，求 线段 AD 的取值范围。
分析：
直接求 AD 的长度很难，但可以利用三角形三边关系，需要构造一个包含 AB, AC, 2AD 的三角形。
- 倍长中线：延长
AD到E，使得DE = AD。 - 连接
BE。 - 证明全等：
AD = ED(由作图)BD = CD(D是中点)∠ADB = ∠EDC(对顶角)- ∴
△ADB ≅ △EDC(SAS)
- 转化边长：由全等可知
AB = EC，因为AB = 5，EC = 5。 - 利用三边关系：在
△AEC中，AE = 2AD，AC = 3，EC = 5。- 三角形三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
AC + EC > AE=>3 + 5 > 2AD=>8 > 2AD=>AD < 4AC + AE > EC=>3 + 2AD > 5=>2AD > 2=>AD > 1EC + AE > AC=>5 + 2AD > 3(恒成立)
AD的取值范围是1 < AD < 4。
利用“截长补短”构造全等
中出现线段和差关系（如 AB = AC + AD）时，可以考虑“截长”或“补短”。
- 截长：在长线段上截取一段与短线段相等,再证明剩下的一段与另一短线段相等。
- 补短：将两条短线段拼接起来,证明这条新线段与长线段相等。
例题：
已知：如图，在 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，D 是 BC 边上一点，AD = BD + CE。
求证：AD ⊥ BC。
分析：
AD = BD + CE 这个条件很复杂,想办法转化。
- 补短：在
AD上截取DF = BD。 - 连接
CF。 - 证明全等：
AB = AC(已知)∠B = ∠ACB(等腰直角三角形底角相等)∠ABD = ∠ACF(因为∠ABD = 90° - ∠ADB，`∠ACF =
